⏫ Ley de Capitalización Compuesta y su poder multiplicador

Aprende a utilizar el método de capitalización compuesta, descubre su poder multiplicador y por qué decimos que es un aliado en la inversión.

Capitalización Compuesta y su definición

Antes de conocer la Ley de Capitalización Compuesta y su poder multiplicador, hagamos un breve repaso al concepto general.

En primer lugar, la Ley de Capitalización básica es un método matemático que nos permite conocer, dado un capital determinado invertido en el momento actual, su valor futuro bajo un conocido tipo de interés y tiempo contratado.

Dicho esto, en la anterior entrada Ley de Capitalización Simple: todo lo que debes saber, conocimos cómo determinar el resultado de nuestra inversión para periodos de tiempo inferiores al año. Ahora, te proponemos conocer la Ley Financiera de Capitalización Compuesta y su poder multiplicador; un método más utilizado para periodos superiores de tiempo.

Representación gráfica de capitalización compuesta

En la siguiente gráfica apreciamos el efecto multiplicador existente en la Ley Financiera de Capitalización Compuesta que tanto hemos resaltado en el artículo.

En relación a esto, aquí tienes una interesante noticia de los periódicos Cinco Días y El País acerca del poder mutiplicador del interés compuesto en nuestro día a día.

Además, en Capitalización Compuesta los intereses son crecientes a lo largo del tiempo, de modo que en la representación gráfica del montante (Cn) obtenido finalmente hablamos de una Función Exponencial.

Por el contrario, en Capitalización Simple, los intereses generados a lo largo del periodo permanecen constantes e inalterables. En consecuencia, hablaremos de una Función Lineal al representar su valor capitalizado.

En relación con la representación gráfica, en escenarios de largos periodos de tiempo, la Ley de Capitalización Compuesta obtendrá un valor MAYOR que la Ley Financiera de Capitalzación Simple gracias al efecto multiplicador en la generación de intereses.

¿Qué quiere decir esto?
Esto supone que en cada uno de los tramos temporales (meses, años …) de nuestro contrato financiero, los intereses generados en cada uno de los tramos se «suman» al capital inmediatamente anterior, dando como resultado intereses superiores en los tramos posteriores. De esta forma, una vez finalizado el contrato, la imposición de nuestro capital habrá generado intereses crecientes.

Diferencias entre LFCS y LFCC

La principal diferencia entre la Capitalización Simple y la Capitalización Compuesta es que en la Ley de Capitalización Compuesta los intereses generados en cada uno de los periodos formarán parte del capital para el cálculo de los siguientes intereses, mientras que en la Capitalización Simple no. De esta forma, en Capitalización Compuesta los intereses dependerán del capital inmediatamente anterior (no siempre será el capital inicial), y los intereses en capitalización simple siempre serán los mismos ya que únicamente dependen del importe aportado al inicio.

Ahora bien, si para periodos inferiores de tiempo utilizamos la Ley de Capitalización Simple, y en periodos superiores al año empleamos la Ley de Capitalización Compuesta … ¿Qué sucede cuando n = 1 año?
Es indiferente. Por lo tanto, podemos elegir tanto un método como otro, ya que la fórmula y resultados son equivalentes.

	Capitalización Simple	Capitalización Compuesta
Intereses	No productivos	Productivos
Caract. I	Intereses constantes	Intereses diferentes y crecientes
Capital empleado	Capital inicial	Capital inmediatamente anterior (intereses de periodos anteriores)
Duración	≤ 1 año	≥ 1 año

Fórmulas matemáticas para capitalización compuesta

Cálculo del montante (Cn)

Siguiendo con la Ley de Capitalización Compuesta, para la determinación del Valor Capitalizado o Montante debemos tener presente que los intereses generados en cada intervalo temporal, formarán parte de la base para determinar los siguientes intereses.

Es decir:
C₀
C₁ = C₀ +I₁ = C₀ + C₀ x i = C₀ (1+i)
C₂ = C₁ +I₂ = C₁ + C₁ x i = C₁ (1+i) = C₀ (1+i) (1+i) = C₀ (1+i)²
C₃ = C₂ +I₃ = C₂ + C₂ x i = C₂ (1+i) = C₀ (1+i)² (1+i) = C₀ (1+i)³
…
Cn = C₀ (1+i)ⁿ

Cn = C₀ (1+i)ⁿ

Cálculo del Valor Actual (C₀)

En primer lugar, patiendo de la fórmula anterior podemos obtener el resto de incógnitas. En este caso, dado un tipo de interés i, un periodo de tiempo n y un montante Cn, podemos calcular C₀ de la siguiente forma:

C₀ = Cn / (1+i)ⁿ ➡︎ Para poner en el numerador los valores del denominador basta con poner en signo negativo el exponente (en nuestro caso n) ➡︎ C₀ = Cn (1+i) ⁻ⁿ

C₀ = Cn (1+i) ⁻ⁿ

Cálculo del tipo de interés (i) y la duración (n)

Al igual que sucede para el cálculo de C₀, si partimos de la fórmula principal, podemos despejar las incógnitas i y n.

Obtención de i

A continuación, veamos cómo se obtiene el tipo de interés:

Cn = C₀ (1+i)ⁿ ➡︎ Cn / C₀ = (1+i)ⁿ ➡︎ para eliminar el exponente n del segundo miembro de la ecuación, dividiremos el exponente entre n para que resulte 1. Si lo hacemos en el segundo miembro, también debemos hacerlo en el segundo ➡︎ (Cn / C₀)¹ ∕ ⁿ = (1+i)ⁿ ∕ ⁿ ➡︎ (Cn / C₀)¹ ∕ ⁿ = (1+i) ➡︎
[(Cn / C₀)¹ ∕ ⁿ] -1 = i

i =[(Cn / C₀)¹ ∕ ⁿ] -1

Obtención de n

Ahora bien, para la obtenición de n emplearemos algo nuevo y necesario para el cálculo de incógnitas que forman parte de exponentes: los logaritmos.

En este caso, el logaritmo necesario para ello es el logℯ, el cual podemos localizar en todas las calculadores científicas.

El proceso para depejar n es el siguiente:

Cn = C₀ (1+i)ⁿ ➡︎ Cn / C₀ = (1+i)ⁿ ➡︎ aplicaremos logℯ en ambos miembros de la ecuación ➡︎ logℯ Cn / C₀ = n [logℯ (1+i)] ➡︎ [logℯ Cn / C₀] / [logℯ (1+i)] = n

n = [logℯ Cn / C₀] / [logℯ (1+i)]

Determinación de los INTERESES (I)

Intereses postpagables (I)

En relación a los intereses pagados al final del periodo, éstos se calculan como la diferencia entre el capital inicial (C₀) y el capital final (Cn). En el momento del pago de intereses (tn), el valor Cn es mayor que C₀.

Así pues, en capitalización compuesta, I se obtiene de la siguiente manera:

Intereses postpagables (I) = Cn – C₀ ➡︎ C₀ (1+i)ⁿ – C₀ ➡︎ C₀ [(1+i)ⁿ – 1]

Interés Postpagable (I) = C₀ [(1+i)ⁿ – 1]

Intereses Prepagables (I*)

Mientras tanto, cuando los intereses son pagados por anticipado (al inicio del periodo), se calculan como la diferencia entre C₀ y C. A diferencia de los intereses postpagables, en el momento del pago (t₀), C₀ presentará un valor mayor a C.

Por ello, los Intereses prepagables serán:
(I*) = C₀ – C ➡︎ C₀ – C₀ (1-i*)ⁿ ➡︎ C₀ [1 – (1-i*)ⁿ]

Interés Prepagable (I*) = C₀ [1-(1-i*)ⁿ]

Equivalencia de tipos de interés

En primer lugar, si disponemos de un tipo de interés prepagable (pagado por anticipado), ¿Podremos conocer su equivalente tipo de interés postpagable?

¡Claro que Si!, veamos qué fórmulas emplearemos si bien nos encontramos en capitalización simple o compuesta.

	Fórmula de equivalencia	Características
Capitalización Simple	i = i* / (1-i* x n) i* = i / (1+i x n)	Periodo < 1 año Depende de n No es única
Capitalización Compuesta	i = i* / (1-i*) i* = i / (1+i)	Periodo > 1 año No depende de n Es única

Ahora bien, recuerda, cuando estemos trabajando con un tipo de interés prepagable (i*) emplearemos una fórmula similar al descuento. Dado que la variable i* utilizada se encuentra en el momento t₀, utilizaremos la operación (1-i*) ya que el valor del capital C es inferior al inicial C₀. Si quieres conocer más sobre las gráficas de interés prepagable y postpagable visita nuestra entrada Leyes Financieras, una fácil manera de entenderlas, donde lo explicamos detenidamente.

Ejemplo de LFCC

Para finalizar, y antes de pasar a los casos prácticos, pongamos un ejemplo donde aplicamos las ideas básicas que hemos aprendido:

Dicho lo anterior, Imagina que contamos con un capital inicial invertido de 6.000€, con las siguientes características; tipo de interés de 2’5% y la duración de la operación es de 8 años.
1.- En primer lugar, ¿Cuál será el montante bajo la Ley de Capitalización Compuesta?
Cn = C₀ (1+i)ⁿ ➡︎ Cn = 6.000€ (1+0’025)⁸ = 7.310,42€

2.- En segundo lugar, ¿Y en Capitalización Simple?
Cn = C₀ (1+i x n) ➡︎ Cn = 6.000€ (1 + 0’025 x 8) = 7.200€

Como podemos observar, para periodos superiores al año, las operaciones de capitalización compuesta ofrecerán mayores ventajas y rentabilidades frente a la capitalización simple.

3.- Ahora bien, si alteramos el planteamiento y en lugar de una duración de 8 años fuera de 8 meses, con tipo de interés del 2’5% anual, ¿qué Ley Financiera es preferible?
– Primero debemos cambiar la duración aplicada en la fórmula, ya que si optamos por mantener el tipo de interés anual y estamos con una operación de 8 meses, tenemos que convertir esos 8 meses en una frecuencia anual.
Entonces, ¿Cómo lo haremos? dividiendo, en este caso que es mensual, entre 12.
n (años equivalente a 8 meses) = 8 / 12 = 0’66667

– Posteriormente calculamos el montante en capitalización compuesta y simple.
C.Comp. ➡︎ Cn = C₀ (1+i)ⁿ ➡︎ Cn = 6.000€ (1+0’025)^(8/12) = 6.099,59€
C.Simple ➡︎ Cn = C₀ (1+i x n) ➡︎ Cn = 6.000€ (1 + 0’025 x 8/12) = 6.100€

Así pues, para periodos inferiores al año, la Ley de Capitalización preferible es la Ley de Capitalización Simple (si fuera 1 año exacto, nos sería indiferente tomar una Ley u otra). A medida que nos acercamos a la frecuencia anual, ambos resultados son cada vez más equivalentes e indiferentes para la toma de decisiones.

Casos prácticos de Ley de Capitalización Compuesta

1. Calcula el valor actual (C₀) en capitalización compuesta bajo el siguiente escenario: Cn=4.000€, n=5 años, i=6% compuesto anual.
   • Solución: 2.989,03€
2. ¿Cuánto tiempo ha sido mantenido un capital inicial de 10.000€ a un tanto de interés efectivo compuesto del 3’5% y que ha generado un valor final de 13.628,97€?
   • Solución: 9 años
3. Por otro lado, determina el tipo de interés postpagable de un préstamo de 6.000€, para un periodo de 4 años y con un tipo de interés anticipado o prepagable del 8%
   • Solución: 8’70%
4. Con i=5%, tenemos dos capitales financieros caracterizados por:
   C₃ = 1.000€; t₃
   C₅ = 1.102,50€; t₅
   ¿Son equivalentes en t₀? ¿y en cualquier otro momento?
   • En conclusión, Sí son equivalentes ya que el capital inicial es similar (C₀ = 863,84€) y por ello, compartiendo igual tipo de interés (5%), serán equivalentes en cualquier otro momento tn.
     

Así que espero os haya gustado este tema y os haya ayudado a conocer y entender un poquito más la Capitalización Compuesta. ¡Nos vemos en la próxima entrada de Financiérate! No olvides comentar qué te ha parecido o plantear tus dudas en los comentarios 😃